Делитель групп. Нормальный делитель, факторгруппа. Список использованных источников

Теорема Лагранжа утверждает, что если , a
, то

т.е. порядок
любой подгруппы H группы G делит N – порядок группы G.

Естественно, возникает вопрос об обращении теореме: если m является делителем
, то существует ли в группе G подгруппа H порядка m?

Другими словами: существует ли для каждого делителя m порядка группы N подгруппы H группы G порядка m?

В общем случае ответ отрицательный, однако в некоторых частных случаях такое обращение теоремы Лагранжа справедливо.

Теорема. (обращение теоремы Лагранжа )

1. Всякая подгруппа циклической группы есть снова циклическая группа.

2. Подгруппы бесконечной циклической группы

.

3. Подгруппы циклической группы порядка числа.

Доказательство.

Докажем 1 . Пусть – произвольная циклическая группа порядка
. Для определенности будем предполагать, что– аддитивная группа.

В этом случае общий элемент группы имеет вид

Пусть
– произвольная неединичная подгруппа группы, т.е.
.

Так как
, то элементами подгруппы
являются элементы вида
, но если.

Среди всех элементов вида
, выберем элемент

, где
– наименьшее положительное число.

Тогда любое
можно представить в виде:

Из того, что

но m – наименьшее число, удовлетворяющее условию

mgH  r = 0  H =,

т.е. Н – циклическая группа с образующим элементом mg.

Докажем 2 . Подгруппы бесконечной циклической группы
исчерпываются бесконечными группами
.

Действительно, так как
– циклическая группа с образующим элементом 1 или
, т.е.

то, в соответствии с пунктом 1 данной теоремы, любая подгруппа H циклической группы
определяется натуральным числом
и имеет вид

причем все эти подгруппы бесконечны.

Докажем 3 . Подгруппы циклической группы порядка находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными делителямичисла.

Пусть, как и ранее,
– аддитивная циклическая группа порядка, т.е.

Если , причем, если элемент

Нам надо доказать, что
делит.

Действительно, представим

Тогда из того, что

,

а минимальность
влечет
, следовательно
.

Таким образом, из того, что
, следует, что подгруппа
имеет порядок, т.е.

.

Когда
пробегает по всем положительным делителям числа, то же самое делает и, и мы получаем ровно по одной подгруппе порядка, делящего.

Следствие. В циклической группе
порядкаподгруппа
порядка
совпадает с множеством элементов
, таких, что
.

Доказательство. Элементы циклической группе
порядкаимеют вид

Если
, тои
.

Обратно, пусть
и
.

Из условия
следует, что
, откуда
и.

1. Нормальные делители

Пусть G – произвольная группа, а H – подгруппа группы G, тогда, если то мы получаем два левых смежных класса
и
.

Мы хотим выяснить условия, при которых произведение элементов, взятых из смежных классов
и
, не зависит от выбора представителей классов и всегда принадлежит одному и тому же смежному классу, что и произведение элементов
, а именно классу
.

Элемент принадлежит смежному классу
, а элемент– смежному классу
.

Произвольные элементы, принадлежащие, соответственно, смежным классам
и
можно представить в виде:

Тогда их произведение

должно принадлежать классу

.

Это означает, что в подгруппе H,

Умножая почленно полученное равенство слева на , имеем:

(9)

где

Соотношение (9) позволяет сделать следующий вывод.

Так как элементы
выбраны произвольно, то для любого элемента
и любого элемента
существует элемент

,

удовлетворяющий соотношению (9).

Кроме того, элемент
а элемент
. В силу этого каждый левый смежный класс группы G по H содержится в некотором правом смежном классе группы G по той же подгруппе H:

Аналогично можно показать и обратное включение

а это будет означать, что

Определение 1. Подгруппа H группы G называется нормальным делителем или инвариантной подгруппой , если для любых двух смежных классов g 1 H и g 2 H по подгруппе H, произведение
произвольных элементов
из этих классов, принадлежит одному и тому же смежному классу
(рис. 2).

Рис. 2 – Подгруппа H – нормальный делитель группы G.

Формально: подгруппа H – нормальный делитель группы , если:

В коммутативных группах всякая подгруппа является нормальным делителем (в силу коммутативности операции сложения).

Для практического использования понятия нормального делителя рассмотрим еще несколько более «конструктивных в обращении» определений.

Определение 2. Подгруппа H группы G является нормальным делителем группы G в том и только том случае, если каждый левый смежный класс
совпадает с правым смежным классом
группы G по H и наоборот.

Формально: подгруппа H – нормальный делитель группы G, если:

Условие (12), очевидно, означает, что:

Примеры.

1. В любой группе G сама группа
и единичная подгруппа
являются ее нормальными делителями: левый и правый смежные классы группы G по подгруппе
состоит из одного смежного класса
, а левый (правый) смежные классы по единичной подгруппе H состоят из всех элементов группы G.

2. В каждой абелевой группе G каждая ее подгруппа H является нормальным делителем.

3. Мультипликативная группа положительных вещественных чисел
является нормальным делителем мультипликативной группы всех отличных от нуля вещественных чисел,

4. Мультипликативная группа отличных от нуля рациональных чисел
является нормальным делителем мультипликативной группы отличных от нуля вещественных чисел

5. В мультипликативной группе
невырожденных матриц
-го порядка с вещественными коэффициентами подгруппа
матриц с определителем равным единице:

является нормальным делителем этой группы.

Действительно, единичная матрица
, если

и

– соответственно, левый и правый смежные классы группы
-невырожденных матриц
-го порядка с вещественными коэффициентами по подгруппе
- матриц с определителем равным единице.

,

Т.е.
.

С другой стороны, если

,

поскольку
поэтому

Следовательно, сгруппировав в один смежный класс (левый или правый) все матрицы с равными детерминантами, получим разложение группы
по подгруппе
. Этот пример показывает, что и в некоммутативных группах могут быть подгруппы – нормальные делители, для которых левый смежный класс

совпадает с правым смежным классом

Введение 2
1. Определение и примеры групп 4
2. Подгруппы 8
3. Циклические группы. 13
4. Нормальные делители, фактор-группы 17
5. Идеал подгруппы в группе. Теорема Лагранжа и следствия из неё. 22
6. Использование нормальных делителей групп при решении задач 26
Заключение 29
Список литературы 30

Введение

Высшая алгебра представляет собой далеко идущее, но вполне естественное обобщение основного содержания школьного курса элементарной алгебры. Линейная алгебра, являющаяся большой наукой, посвященной в основном теории матриц и связанной с нею теории линейных преобразований векторных пространств, включает в себя также теорию форм, теорию инвариантов и тензорную алгебру, играющую важную роль в дифференциальной геометрии. Теория векторных пространств получает дальнейшее развитие вне алгебры, в функциональном анализе (бесконечномерные пространства). По разнообразию и значительности приложений как в математике, так и в механике, физике и технических науках линейная алгебра остается пока первой среди многочисленных ветвей алгебры.
Теория полей оказалась естественной областью для дальнейшего развития теории уравнений, а ее основные ветви - теория полей алгебраических чисел и теория полей алгебраических функций - связали ее, соответственно, с теорией чисел и теорией функций комплексного переменного. Курс высшей алгебры включает в себя элементарное введение в теорию полей, а некоторые разделы курса - многочлены от нескольких неизвестных, нормальная форма матрицы - излагаются сразу для случая произвольного основного поля.
Более широким, чем понятие поля, является понятие кольца. В отличие от случая поля, здесь уже не требуется выполнимости деления и, кроме того, умножение может быть некоммутативным и даже неассоциативным. Простейшими примерами колец служат совокупность всех целых чисел (включая и отрицательные), система многочленов от одного неизвестного и система действительных функций действительного переменного. Теория колец включает в себя такие старые ветви алгебры, как теория гиперкомплексных систем и теория идеалов, она связана с рядом математических наук/в частности с функциональным анализом, и уже нашла некоторые выходы в физику. Курс высшей алгебры, по существу, содержит лишь определение понятия кольца.
Еще большую область применений имеет теория групп. Группой называется алгебраическая система с одной основной операцией, причем эта операция должна быть ассоциативной, хотя необязательно коммутативной, и должна обладать обратной операцией - делением, если основная операция названа умножением. Такова, например, совокупность целых чисел, рассматриваемая относительно операции сложения, а также совокупность положительных действительных чисел, рассматриваемая с операцией умножения. Группы играли большую роль уже в теории Галуа, в вопросе о разрешимости уравнений в радикалах, сейчас же они являются важным орудием в теории полей, во многих разделах геометрии, в топологии, а также и вне математики - в кристаллографии, в теоретической физике. Вообще, по широте области приложений теория групп занимает среди всех ветвей алгебры следующее после линейной алгебры место.
Предметом данной работы являются нормальные делители групп.
Задачи:
1. Дать определение группе и подгруппе, рассмотреть примеры групп.
2. Рассмотреть циклические группы.
3. Рассмотреть понятие нормальных делителей
4. Привести теорему Лагранжа и следствия из неё.
5. Рассмотреть использование нормальных делителей групп при решении задач.

Список использованных источников

1. Куликов Л.Я. и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. – : Высш. школа, 1979. – 559 с., ил.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2004. – 272 с.
3. Фаддеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977. – 288 с.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.
5. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре – М.: Просвещение, 1964.

Общий объем: 30 стр.

Год: 2013

Если H 1 и H 2 – подмножества группы G , то произведением H 3 подмножеств H 1 и H 2 называется H 3 = H 1 ×H 2 º {h 3 ½h 3 = h 1 ×h 2 ; h 1 ÎH 1 ; h 2 ÎH 2 }.

Отметим, что если H 1 и H 2 – подгруппы группы G , то H 1 ×H 2 , вообще говоря, не подгруппа.

◀ В самом деле, если , то

Если бы можно было, то …. Но коммутативный закон, вообще говоря, не выполнен

Если H подгруппа G и a ÎG , то aH и Ha , рассматриваемые как произведения множества Н и одноэлементного множества {a }, называются левым и правым смежными классами подгруппы Н в G . Изменение а влечет за собой, вообще говоря, изменение смежных классов.

§7. Свойства смежных классов (сформулированы для левых,

но справедливы и для правых)

1° . a ÎH Þ aH º H . Доказать самостоятельно .

2° . a -1 b ÎH Þ aH = bH . ◀ a - 1 bH º H (из 1° ) и тогда bH = (aa - 1)bH = a (a - 1 bH ) = aH

3° . Два смежных класса одной подгруппы H либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

◀ Пусть аН и bH имеют общий элемент, т.е. для h 1 , h 2 ÎH , ah 1 = bh 2 Þ a -1 b = ÎH и т.к. (из 2° )

4° . a ÎaH . Доказать самостоятельно .

Пусть Н такая подгруппа G для которой все левые смежные классы являются и правыми смежными классами. В этом случае, аН = На , "a ÎG . Подгруппа Н для которой все левые смежные классы являются одновременно и правыми смежными классами называется нормальным делителем группы G .

Т° . Если Н – нормальный делитель группы G, то произведение смежных классов –

Задача 1. Проверить выполнение аксиом группы для а) множества целых чисел; б) множества четных целых чисел; в) множества нечетных целых чисел относительно операции сложения.

Решение. Обозначим черезZ 2 n – множество четных целых чисел, а черезZ 2 n -1 – множество нечетных целых чисел. Замкнутыми относительно сложения являются множествоZи множествоZ 2 n . В самом деле, складывая два целых числа, получаем целое число; складывая два четных целых числа, получаем также четное целое число. Напротив, при сложении двух нечетных чисел не получается нечетное число, что указывает на то, что множествоZ 2 n -1 незамкнуто относительно операции сложения.

Проверим выполнение других аксиом группы. Сложение является ассоциативной операцией. Нейтральным элементом на множествах ZиZ 2 n относительно сложения является 0. Далее, для любого целого числа (четного целого числа) противоположное ему число также является целым (четным целым).

Таким образом, можно сделать вывод, что и
– группы, а
не удовлетворяет определению группы, равно как и определениям моноида и полугруппы.

При этом обе группы
и
являются коммутативными (абелевыми), в силу коммутативности сложения.

Задача 2. Доказать, что множество четных целых чисел образует подгруппу аддитивной группы целых чисел.

Решение. Ранее доказано, что
– группа. При этом
. Тем самым, доказано, что
– подгруппа группы
.

Задача 3. Найти смежные классы группы
по подгруппе
.

Решение . Для удобства записи обозначим
. Левые смежные классы группы
по подгруппе
представлены ниже:

Очевидно, что левые смежные классы совпадают с соответствующими правыми классами. Это является следствием коммутативности сложения. Следовательно, группа четных целых чисел является нормальным делителем аддитивной группы целых чисел.

Рассмотренный пример, кроме прочего, иллюстрирует ряд основных фактов, касающихся смежных классов:

а) одним из смежных классов является сама подгруппа Н (в данном случае это смежный класс Н + 0);

б) любые два смежных класса либо совпадают (например, Н + 0 и Н + 2), либо вовсе не пересекаются (например, Н + 0 и Н + 1);

в) множество смежных классов (например, левых) образует разбиение носителя группы; в данном случае
.

Задачи для самостоятельного решения

Подгруппа H группы G называется нормальным делителем, если для каждого элемента g группы G его левый и правый смежные классы по подгруппе H равны, т.е. gH =Hg .

Теорема 2.5. Подгруппа H группы G является нормальным делителем тогда и только тогда, когда содержится в H при любых g из G и h из H .

Доказательство очевидно.

Пусть H – нормальный делитель группы G . На множестве смежных классов введем операцию умножения, индуцируемую групповой операцией. Под произведением смежных классов aH и bH будем понимать множество всевозможных произведений элементов из aH на элементы bH . Поскольку H – нормальный делитель, то все эти произведения содержатся в смежном классе (ab )H . Таким образом, на множестве смежных классов введена операция. Эта операция ассоциативна (aHbH )cH =aH (bHcH ), существует нейтральный элемент H , и для каждого элемента aH существует обратный a -1 H . Следовательно, множество смежных классов, относительно введенной операции, образуют группу, которая называется факторгруппой.

Гомоморфизм групп.

Однозначное отображение группы G в группу H , сохраняющее операцию, называется гомоморфизмом группы G в H .

Изоморфизм является частным случаем гомоморфизма.

Свойство 2.9. При гомоморфизме нейтральный элемент группы G отображается в нейтральный элемент группы H .

Доказательство вытекает из равенства .

Множество элементов группы G , отображающихся в нейтральный элемент, называют ядром гомоморфизма и обозначают .

Свойство 2.10.

Доказательство . Так как , то .

Свойство 2.11. Ядро гомоморфизма является нормальным делителем группы G .

Доказательство . Для a из G и b из ядра справедливо , то есть .

Множество элементов группы H , являющиеся образами элементов G , называют множеством образов и обозначают .

Свойство 2.12. Множество образов является подгруппой H .

Доказательство очевидно.

Теорема 2.6. Факторгруппа изоморфна .

Доказательство . Соответствие является взаимно однозначным и сохраняет операцию, следовательно, оно определяет изоморфизм и .

Теорема 2.7. Для любого нормального делителя H группы G существует гомоморфизм, ядро которого равно H . В частности таким гомоморфизмом из G в G/H является .

Доказательство очевидно.

Нормальный ряд

Докажем две теоремы о гомоморфизмах.

Теорема 2.8. Пусть H нормальный делитель группы G и P – подгруппа G . Тогда - нормальный делитель P и

Доказательство . Пусть и . Тогда так как H нормальный делитель G , и т.к все элементы из P . Следовательно, - нормальный делитель P . Соответствие является взаимно однозначным и сохраняет операцию. Теорема доказана.

Теорема 2.9. Пусть P – нормальный делитель и . Тогда T – нормальный делитель G и .

Доказательство . Рассмотрим , где , . Поскольку , то , и, значит T – нормальный делитель G . Соответствие является взаимно однозначным, т.к. и сохраняет операцию.

Группа называется простой, если в ней нет нормального делителя отличного от нее самой и единичной подгруппы.

Нормальный ряд группы – последовательность подгрупп, в которой каждая следующая является нормальным делителем предыдущей. Если все группы нормального ряда содержатся в нормальном ряде , то говорят, что второй нормальный ряд получен уплотнением первого нормального ряда.

Нормальный ряд без повторений, который нельзя уплотнить называется композиционным.

Для нормального ряда определены факторы . Два нормальных ряда называются изоморфными, если все факторы первого ряда изоморфны факторам второго ряда переставленным в определенном порядке.

Свойство 2.13. Если нормальные ряды и изоморфны, то для каждого уплотнения первого ряда можно найти изоморфное ему уплотнение второго ряда.

Доказательство. Допустим, что между подгруппами и появились новые подгруппы . Поскольку и, значит, факторы изоморфны соответствующим подгруппам . Обозначим через соответствующую подгруппу . Определим последовательность групп , где i =1,…,t . По доказанной выше теореме . Таким образом, уплотнение второго ряда группами является изоморфным. свойство доказано.